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平面ベクトルの公式
平面ベクトルの成分，大きさ，内積，位置ベクトル，面積公式などをまとめています。
平面ベクトル
次の問に答えよ。
1.
\(\vec{a}\ne\vec{0}\) と同じ向きの単位ベクトルを答えよ。
★★★★
\[
\frac{\vec{a}}
{\left|\vec{a}\right|}
\]
2.
\(\vec{a}\ne\vec{0}\) と平行な単位ベクトルを答えよ。
★★★★
\[
\pm
\frac{\vec{a}}
{\left|\vec{a}\right|}
\]
3.
\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) の始点を \(\mathrm{O}\) に揃えよ。
★★★★★
\[
\overrightarrow{\mathrm{AB}}
=
\overrightarrow{\mathrm{OB}}
-
\overrightarrow{\mathrm{OA}}
\]
4.
\(\vec{a}=(x_1,y_1)\) の大きさ \(\left|\vec{a}\right|\) を求めよ。
★★★★★
\[
\left|\vec{a}\right|
=
\sqrt{x_1^2+y_1^2}
\]
5.
\(\mathrm{A}(x_1,y_1),\mathrm{B}(x_2,y_2)\) とする。\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) の成分と大きさを答えよ。
★★★★★
\[
\begin{aligned}
\overrightarrow{\mathrm{AB}}
&=
(x_2-x_1,y_2-y_1)
\\
\left|
\overrightarrow{\mathrm{AB}}
\right|
&=
\sqrt{
(x_2-x_1)^2+
(y_2-y_1)^2
}
\end{aligned}
\]
6.
\(\vec{a}\) と \(\vec{b}\) が平行であることを式で表せ。
★★★★★
\[
\vec{b}
=
k\vec{a}
\quad
(k\text{ は実数})
\]
7.
内積 \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) の定義を答えよ。
★★★★★
\[
\vec{a}\cdot\vec{b}
=
\left|\vec{a}\right|
\left|\vec{b}\right|
\cos\theta
\]
8.
\(\mathrm{A}(x_1,y_1),\mathrm{B}(x_2,y_2)\) とする。内積 \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) を表せ。
★★★★★
\[
\overrightarrow{\mathrm{OA}}
\cdot
\overrightarrow{\mathrm{OB}}
=
x_1x_2+y_1y_2
\]
9.
\(\vec{a}\) と \(\vec{b}\) が垂直であることを式で表せ。
★★★★★
\[
\vec{a}\cdot\vec{b}
=
0
\]
10.
\(\triangle \mathrm{OAB}\) において，\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a},\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}\) とする。面積の公式を答えよ。
★★★★
\[
\frac12
\sqrt{
\left|\vec{a}\right|^2
\left|\vec{b}\right|^2
-
(\vec{a}\cdot\vec{b})^2
}
\]
11.
\(\vec{a}=(x_1,y_1),\vec{b}=(x_2,y_2)\) のとき，\(\triangle \mathrm{OAB}\) の面積の公式を答えよ。
★★★★
\[
\frac12
\left|
x_1y_2-x_2y_1
\right|
\]
12.
\(\mathrm{A}(\vec{a}),\mathrm{B}(\vec{b})\) を結ぶ線分 \(\mathrm{AB}\) を \(m:n\) に内分する点 \(\mathrm{P}\) の位置ベクトルを求めよ。
★★★★★
\[
\vec{p}
=
\frac{
n\vec{a}
+
m\vec{b}
}{
m+n
}
\]
13.
\(\mathrm{A}(\vec{a}),\mathrm{B}(\vec{b})\) を結ぶ線分 \(\mathrm{AB}\) を \(m:n\) に外分する点 \(\mathrm{Q}\) の位置ベクトルを求めよ。
★★★★
\[
\vec{q}
=
\frac{
-n\vec{a}
+
m\vec{b}
}{
m-n
}
\]
14.
\(\mathrm{A}(\vec{a}),\mathrm{B}(\vec{b}),\mathrm{C}(\vec{c})\) とする。\(\triangle \mathrm{ABC}\) の重心の位置ベクトルを求めよ。
★★★★
\[
\vec{g}
=
\frac{
\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}
}{3}
\]
15.
異なる3点 \(\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}\) が同一直線上に存在することを2通りで表せ。
★★★★
\[
\begin{aligned}
\overrightarrow{\mathrm{AC}}
&=
k
\overrightarrow{\mathrm{AB}}
\quad
(k\text{ は実数})
\\
\overrightarrow{\mathrm{OC}}
&=
t
\overrightarrow{\mathrm{OA}}
+
(1-t)
\overrightarrow{\mathrm{OB}}
\\
&
\quad
(t\text{ は実数})
\end{aligned}
\]
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