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三角関数の公式
弧度法，加法定理，2倍角，半角，合成など，三角関数で使う公式をまとめています。
三角関数
次の問に答えよ。
1.
\(\sin(-\theta),\cos(-\theta),\tan(-\theta)\) を表せ。
★★★★
\[
\begin{aligned}
\sin(-\theta)
&=
-\sin\theta
\\
\cos(-\theta)
&=
\cos\theta
\\
\tan(-\theta)
&=
-\tan\theta
\end{aligned}
\]
2.
半径 \(r\)，中心角 \(\theta\) であるおうぎ形の弧の長さ \(l\) と面積 \(S\) を答えよ。
★★★★
\[
\begin{aligned}
l&=r\theta
\\
S&=\frac{1}{2}r^2\theta
\\
&=\frac{1}{2}lr
\end{aligned}
\]
3.
\(\pi\) ラジアンは何度か。
★★★★
\[
180^\circ
\]
4.
三角関数の加法定理を答えよ。
★★★★★
\[
\begin{aligned}
\sin(\alpha\pm\beta)
&=
\sin\alpha\cos\beta
\pm
\cos\alpha\sin\beta
\\
\cos(\alpha\pm\beta)
&=
\cos\alpha\cos\beta
\mp
\sin\alpha\sin\beta
\\
\tan(\alpha\pm\beta)
&=
\frac{
\tan\alpha\pm\tan\beta
}{
1\mp\tan\alpha\tan\beta
}
\end{aligned}
\]
5.
2倍角の公式を答えよ。
★★★★★
\[
\begin{aligned}
\sin2\alpha
&=
2\sin\alpha\cos\alpha
\\
\cos2\alpha
&=
\cos^2\alpha-\sin^2\alpha
\\
&=
1-2\sin^2\alpha
\\
&=
2\cos^2\alpha-1
\\
\tan2\alpha
&=
\frac{
2\tan\alpha
}{
1-\tan^2\alpha
}
\end{aligned}
\]
6.
\(a\sin\theta+b\cos\theta=r\sin(\theta+\alpha)\ (r>0)\) とする。\(r,\sin\alpha,\cos\alpha\) を表せ。
★★★★★
\[
\begin{aligned}
r
&=
\sqrt{a^2+b^2}
\\
\cos\alpha
&=
\frac{
a
}{
\sqrt{a^2+b^2}
}
\\
\sin\alpha
&=
\frac{
b
}{
\sqrt{a^2+b^2}
}
\end{aligned}
\]
7.
半角の公式を答えよ。
★★★★
\[
\begin{aligned}
\sin^2\frac{\alpha}{2}
&=
\frac{
1-\cos\alpha
}{2}
\\
\cos^2\frac{\alpha}{2}
&=
\frac{
1+\cos\alpha
}{2}
\\
\tan^2\frac{\alpha}{2}
&=
\frac{
1-\cos\alpha
}{
1+\cos\alpha
}
\end{aligned}
\]
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