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図形と方程式の公式
点の距離，内分・外分，直線，円，接線など，図形と方程式で使う公式をまとめています。
図形と方程式
次の問に答えよ。
1.
\(\mathrm{A}(x_1,y_1),\mathrm{B}(x_2,y_2)\) とする。線分 \(\mathrm{AB}\) を \(m:n\) に外分する点 \(\mathrm{P}\) の座標を求めよ。
★★★★
\[
\left(
\frac{-nx_1+mx_2}{m-n},
\frac{-ny_1+my_2}{m-n}
\right)
\]
2.
\(\mathrm{A}(x_1,y_1),\mathrm{B}(x_2,y_2)\) とする。線分 \(\mathrm{AB}\) の中点 \(\mathrm{M}\) の座標を求めよ。
★★★★★
\[
\left(
\frac{x_1+x_2}{2},
\frac{y_1+y_2}{2}
\right)
\]
3.
傾きが \(m\) で，\((x_1,y_1)\) を通る直線の方程式を求めよ。
★★★★★
\[
y-y_1=m(x-x_1)
\]
4.
\(y=f(x)\) のグラフを \(x\) 軸方向に \(p\)，\(y\) 軸方向に \(q\) だけ平行移動したグラフの方程式を答えよ。
★★★★★
\[
y-q=f(x-p)
\]
5.
円 \(x^2+y^2=r^2\) 上の点 \((x_1,y_1)\) における接線の方程式を求めよ。
★★★★
\[
x_1x+y_1y=r^2
\]
6.
点 \((x_1,y_1)\) を通り，\(x\) 軸に垂直な直線の方程式を答えよ。
★★★★
\[
x=x_1
\]
7.
中心 \((a,b)\)，半径 \(r\) の円の方程式を求めよ。
★★★★★
\[
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
\]
8.
点 \((x_1,y_1)\) と直線 \(ax+by+c=0\) の距離を求めよ。
★★★★★
\[
d=
\frac{
\left|ax_1+by_1+c\right|
}{
\sqrt{a^2+b^2}
}
\]
9.
円 \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) 上の点 \((x_1,y_1)\) における接線の方程式を求めよ。
★★★★
\[
(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2
\]
10.
2直線 \(y=m_1x+n_1,\ y=m_2x+n_2\) が平行，垂直であるときに成り立つ式を答えよ。
★★★★★
\[
\begin{aligned}
\text{平行：}&m_1=m_2
\\
\text{垂直：}&m_1m_2=-1
\end{aligned}
\]
11.
\(\mathrm{A}(x_1,y_1),\mathrm{B}(x_2,y_2),\mathrm{C}(x_3,y_3)\) について，\(\triangle \mathrm{ABC}\) の重心 \(\mathrm{G}\) の座標を求めよ。
★★★★
\[
\left(
\frac{x_1+x_2+x_3}{3},
\frac{y_1+y_2+y_3}{3}
\right)
\]
12.
\(y=f(x)\) のグラフを \(x\) 軸，\(y\) 軸，原点，\(y=x\) に関して対称移動したグラフの方程式を答えよ。
★★★★
\[
\begin{aligned}
x\text{軸：}&y=-f(x)
\\
y\text{軸：}&y=f(-x)
\\
\text{原点：}&y=-f(-x)
\\
y=x\text{：}&x=f(y)
\end{aligned}
\]
13.
\(\mathrm{A}(x_1,y_1),\mathrm{B}(x_2,y_2)\) とする。線分 \(\mathrm{AB}\) を \(m:n\) に内分する点 \(\mathrm{P}\) の座標を求めよ。
★★★★★
\[
\left(
\frac{nx_1+mx_2}{m+n},
\frac{ny_1+my_2}{m+n}
\right)
\]
14.
点 \((x_1,y_1)\) を通り，\(x\) 軸に平行な直線の方程式を答えよ。
★★★★
\[
y=y_1
\]
15.
\(\mathrm{A}(x_1,y_1),\mathrm{B}(x_2,y_2)\) とする。\(\mathrm{AB}\) の長さを求めよ。
★★★★★
\[
\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}
\]
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