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数列の公式
等差数列，等比数列，和の公式，階差数列，部分分数分解などをまとめています。
数列
次の問に答えよ。
1.
初項が \(a\)，公差が \(d\) である数列 \(\{a_n\}\) の一般項を求めよ。
★★★★★
\[a_n=a+d(n-1)\]
2.
数列 \(a,b,c\) が等差数列であるとき，成り立つ関係式を答えよ。
★★★★
\[2b=a+c\]
3.
初項が \(a\)，公差が \(d\) である数列 \(\{a_n\}\) の初項から第 \(n\) 項までの和 \(S_n\) を求めよ。
★★★★★
\[S_n=\frac{1}{2}n\{2a+d(n-1)\}\]
4.
初項が \(a\)，公比が \(r\) である数列 \(\{a_n\}\) の一般項を求めよ。
★★★★★
\[a_n=ar^{n-1}\]
5.
数列 \(a,b,c\) が等比数列であるとき，成り立つ関係式を答えよ。
★★★★
\[b^2=ac\]
6.
初項が \(a\)，公比が \(r\) である数列 \(\{a_n\}\) の初項から第 \(n\) 項までの和 \(S_n\) を求めよ。
★★★★★
\[r\ne1\text{ のとき }S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\]\[r=1\text{ のとき }S_n=na\]
7.
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}c\) を計算せよ。
★★★★
\[cn\]
8.
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k,\ \sum_{k=1}^{n}k^2,\ \sum_{k=1}^{n}k^3\) を計算せよ。
★★★★★
\[\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)\]\[\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\]\[\sum_{k=1}^{n}k^3=\left\{\frac{1}{2}n(n+1)\right\}^2\]
9.
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}r^{k-1}\ (r\ne1)\) を計算せよ。
★★★★★
\[\frac{1-r^n}{1-r}=\frac{r^n-1}{r-1}\]
10.
初項が \(a\)，階差数列が \(\{b_n\}\) で表される数列 \(\{a_n\}\) の一般項を求めよ。
★★★★
\[a_n=a+\sum_{k=1}^{n-1}b_k\]
11.
\(\frac{1}{(n+a)(n+b)}\ (a\ne b)\) を部分分数分解せよ。
★★★★
\[\frac{1}{(n+a)(n+b)}=\frac{1}{b-a}\left(\frac{1}{n+a}-\frac{1}{n+b}\right)\]
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