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複素数と方程式の公式
複素数，高次方程式，対称式に関する公式をまとめています。 解と係数の関係や剰余定理など，方程式分野でよく使う基本事項を確認しましょう。
複素数
次の問に答えよ。
1.
\(a,b,c,d\) は実数，\(i^2=-1\) とする。\(a+bi=0\) のとき成り立つ関係式を答えよ。
★★★★
\[a=0,\quad b=0\]
2.
\(a,b,c,d\) は実数，\(i^2=-1\) とする。\(a+bi=c+di\) のとき成り立つ関係式を答えよ。
★★★★
\[a=c,\quad b=d\]
高次方程式
次の問に答えよ。
1.
整式 \(P(x)\) を \(x-a\) で割った余りを答えよ。
★★★★★
\[P(a)\]
2.
整式 \(P(x)\) を \(ax-b\ (a\ne0)\) で割った余りを答えよ。
★★★★
\[P\left(\frac{b}{a}\right)\]
3.
2次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) の2解を \(\alpha,\beta\) とする。\(\alpha+\beta,\alpha\beta\) を表せ。
★★★★★
\[\alpha+\beta=-\frac{b}{a},\quad \alpha\beta=\frac{c}{a}\]
4.
2次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) の2解を \(\alpha,\beta\) とする。\(ax^2+bx+c\) を因数分解せよ。
★★★★★
\[a(x-\alpha)(x-\beta)\]
5.
\(\alpha,\beta\) を解にもつ2次方程式を1つ作れ。
★★★★★
\[x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\]
6.
3次方程式 \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) の解と係数の関係を答えよ。
★★★★
\[\alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a},\quad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a},\quad \alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a}\]
対称式
次の式を \(\alpha+\beta,\ \alpha \beta\) を用いて表せ。
1.
\(\alpha^2+\beta^2\)
★★★★★
\[(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\]
2.
\((\alpha-\beta)^2\)
★★★★★
\[(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta\]
3.
\(\alpha^3+\beta^3\)
★★★★
\[(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)\]
4.
\(\frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}\)
★★★★
\[\frac{(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta}{\alpha\beta}\]
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